《常微分方程》 极简笔记归纳

前言

个人自制学习资料，无商业用途。

绪论

1. 常微分方程模型：

2. 概述：

   • 包含的称通解，不包含的称一个特解。通解到特解的转换需个初值条件，该转换称为求解 “Cauchy 问题 “/“ 初值问题 “
   • 求不出精确解，几何分析
   1. 积分曲线：解簇曲线
   2. 线素：有意义点的切线斜率对应的短切线
   3. 线素场：区域内线素集合
   4. 等倾线：连续的导数相等点的集合
   5. 平衡解：常数特解，几何上确定的点 / 线
   6. 规范形式：
   7. 阶 ode 通解含个独立，独立性由 Jacobi 行列式验证：

初等积分法

变量分离形式

1. 变量分离方程

   两边同乘，积分

2. 一阶线性方程

   常数变易公式：

3. Bernoulli 方程

   换元, 化简得

4. 齐次方程

   、中每项次数和一致，最高次

   上下同乘，换元

5. 线性分式方程

   （不全为 0）

   计算

   1. 若，换元或
   2. 若，计算，换元

恰当方程形式

1. 积分因子法

   1. 若，说明，直接积

   2. 一元

      算，

      只与有关或只与有关：

   3. 二元

      分组：

      两组积分因子为，对应原函数，则原方程积分因子：

      为任意可微函数

隐式方程

，令

1. 微分法

   1. 可解出，，求导得
   2. 可解出，，求导得，用代换消

2. 参数法

   仅由组成，已求出，合理换参使另一个好积

   ，（已知量不一定要对微分）

初等积分法的一些应用

1. 奇解

   判别式：，消得判别曲线 判别式：，消得判别曲线

2. 高阶微分方程

   1. 不显含：令最低阶为
   2. 齐次方程：可化成第 1 类方程
   3. 全微分方程：直接对积分降阶
   4. 仅含，最高阶奇数，必有实数解，隐式通解：

3. Riccati 方程

   特解，换元，化为 Bernoulli 方程：

线性方程

存在性与唯一性

元一阶非齐次线性方程组，为阶方阵函数，为维列向量函数，均连续

定理 3.1
在定义区间上有唯一解满足初值条件

齐次线性方程组的通解结构

定理 3.2
齐次方程解的线性组合也是齐次方程解，解的全体为维线性空间

个线性无关的解合称一个基本解组，判线性无关引入：

定义 3.1
Wronski 行列式：解矩阵行列式

定理 3.3
解组线性无关充要条件：Wronski 行列式某点不为（即恒不为零），且满足 Liouville 公式：：的迹，对角线元素和

定义 3.2
标准解矩阵：某点为的基本解矩阵

非齐次线性方程组的通解

定理 3.4
通解：
为某特解，为对应齐次方程的基本解矩阵，为维常数列向量

定理 3.5
常数变易公式：

高阶线性方程

（核心思想不变，扩展到高阶）

定理 3.6
个线性无关解，通解为：

定理 3.7
解组线性无关充要条件：Wronski 行列式某点不为 0，且满足 Liouville 公式：

定理 3.8
非齐次通解：

:行列元素的代数余子式

复值解和级数解法

1. 复指数函数：

2. 复值线性方程组：

3. 复值函数：

4. 复值阶方阵函数

定理 3.9

定理 3.10
的充要条件是均满足该式

定理 3.11
若可收敛展成：
则在附近有唯一解析解

定理 3.12
，可展成收敛幂级数，则有收敛幂级数解：

常系数线性方程

引入

齐次问题

欧拉待定指数函数法：，

定理 4.*
上式有个互异解（重数），则基本解组

非齐次问题

逆算子求一特解：，不用管

逆算子基本性质：为 i 次积分，线性，乘交换

定理 4.3
1. 解析展开：最高次，常用展开

2. 代换法：
3. 二项式法：

常系数线性方程组

定理 4.4
有个互异特征根，特征向量，则基本解组
矩阵的指数函数：

定理 4.5
齐次得到基本解矩阵，也是标准解矩阵；则非齐次通解：

的初等有限和表达：

• 重特征根：

  例：

  2 重根，2 个特征向量

  计算

  则对应重根的解：

定性理论初步

概述

• 定正：0 是唯一零解，时恒大于 0

• 常正：0 不是唯一零解，时恒大于 0

Lyapunov 直接法

给出关于的微分式 *

构造定正函数，依式 * 计算

结果常负则式 * 零解稳定，定负渐近稳定，定正不稳定

线性系统平衡点类型和稳定性分析

给出，均令为 0 求出平衡点

对于某平衡点，变量代换

得到线性部分系数矩阵，验证

计算两特征根：

1. 互异实根：

   1. 同号：两向结点，同负渐稳、同正不稳
   2. 异号：鞍点，不稳定

2. 重根：为负渐稳、为正不稳

   可对角化，星形结点 不可对角化，单向结点

3. 互异复根：

   ：中心，稳定但不是渐近稳定 ：焦点，为负渐稳、为正不稳

闭轨的存在性

• Poincare-Bendixson 环域定理：

  两函数在连续可微域内存在有界环形闭区域，若内无平衡顶，且从边界出发的轨道不穿过边界，则内存在闭轨

• Bendixson 判据：

  内某单连通区域内

  不变号且不恒为 0，则内无闭轨

• Dulac 判据：

  内某单连通区域内（为内连续可微函数）

  不变号且不恒为 0，则内无闭轨

Hamilton 系统

• 平面 Hamilton 系统，” 动能 + 势能 “ 型：

• Hamilton 函数：